Der VIII. Zivilsenat des Bundesgerichtshofs hat am  23. Januar 2013 entschieden:

Wird das Mietverhältnis nach dem Tod des Mieters gemäß § 564 Satz 1 BGB mit dem Erben fortgesetzt, sind die nach dem Erbfall fällig werdenden Forderungen jedenfalls dann reine Nachlassverbindlichkeiten, wenn das Mietverhältnis innerhalb der in § 564 Satz 2 BGB bestimmten Frist beendet wird.

Für den Erben heißte es: keine Zeit verlieren, sich mit dem Vermieter in Verbindung setzen und notfalls das Mietverhältnis umgehend kündigen (Sonderkündigungsrecht). Nur so kann die Haftung auf den Nachlass beschränkt werden. Alle weiteren Fragen zur Räumung und zu diversen Schönheitsreparaturen sollten im Nachgang geklärt werden.